α) Αν στην εξίσωση του κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά, αντικαταστήσουμε όπου x=4m, θα πάρουμε:
yB= 0,1 ημ2π(t-2) = 0,1 ημ(2πt-4π) (1)
β) Η εξίσωση (1) περιγράφει την εξίσωση ταλάντωσης του Β εξαιτίας του κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά. Το σημείο αυτό λειτουργεί σαν πηγή του κύματος που θα διαδοθεί προς τα αριστερά. Έτσι για ένα σημείο Σ, στη θέση x, η εξίσωση ταλάντωσής του θα είναι:
y= 0,1 ημ[2π(t-t1)-4π+π] (2)
όπου t1 το χρονικό διάστημα που θα χρειαστεί το κύμα να φτάσει από το Β στο Σ, δηλαδή t1=(4-x)/2 αφού η ταχύτητα του κύματος είναι υ=λ/Τ=2m/s, ενώ εμφανίζεται και μια διαφορά φάσεως ίση με π, λόγω ανάκλασης σε σταθερό άκρο.
Έτσι από την (2) παίρνουμε:
y= 0,1 ημ[2π(t-(4-x)/2-3π] ή
y= 0,1 ημ(2πt-4π+2πx/2-3π) ή
y= 0,1 ημ2π(t+x/2-7/2) (3)
y= 0,1 ημ[2π(t-(4-x)/2-3π] ή
y= 0,1 ημ(2πt-4π+2πx/2-3π) ή
y= 0,1 ημ2π(t+x/2-7/2) (3)
Η εξίσωση (3) είναι η εξίσωση του κύματος που διαδίδεται προς τα αριστερά.
γ) Από την αρχή της επαλληλίας για την συμβολή των δύο κυμάτων παίρνουμε:
γ) Από την αρχή της επαλληλίας για την συμβολή των δύο κυμάτων παίρνουμε:
y= 0,1 ημ 2π(t-x/2) + 0,1 ημ2π ημ2π(t+x/2-7/2) =
2·0,1 συν2π(t+x/2-7/2-t+x/2)/2 · ημ2π(t+x/2-7/2+t-x/2)/2 ή
y= 0,2 συν2π(x/2-7/4)·ημ2π(t-7/4) (S.Ι) (4)
2·0,1 συν2π(t+x/2-7/2-t+x/2)/2 · ημ2π(t+x/2-7/2+t-x/2)/2 ή
y= 0,2 συν2π(x/2-7/4)·ημ2π(t-7/4) (S.Ι) (4)
Η εξίσωση (4) είναι η εξίσωση του στάσιμου κύματος που δημιουργείται πάνω στη χορδή.
δ) Το πλάτος ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του μέσου είναι:
δ) Το πλάτος ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του μέσου είναι:
Α΄=0,2 συν2π(x/2-7/4)
Θέτοντας στην εξίσωση αυτή x=0 παίρνουμε το πλάτος ταλάντωσης του άκρου Ο:
Α΄= 0,2 συν(-7π/2) = 0
Άρα στο άκρο Ο δημιουργείται δεσμός.
ε) Ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει το κύμα στο άκρο Β είναι t1=L/υ=2s και άλλα 2s να επιστρέψει, άρα το ανακλώμενο κύμα φτάνει στο άκρο Ο την χρονική στιγμή t2=4s.
Αντικαθιστώντας το t στην εξίσωση (4) θα έχουμε:
ε) Ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει το κύμα στο άκρο Β είναι t1=L/υ=2s και άλλα 2s να επιστρέψει, άρα το ανακλώμενο κύμα φτάνει στο άκρο Ο την χρονική στιγμή t2=4s.
Αντικαθιστώντας το t στην εξίσωση (4) θα έχουμε:
y= 0,2 συν2π(x/2-7/4)·ημ2π(4-7/4) ή
y= 0,2 συν2π(x/2-7/4)·ημ2π(9/4) ή
y= 0,2 συν2π(x/2-7/4)·ημ9π/2 ή
y= 0,2 συν2π(x/2-7/4)=0,2συν(πx-7π/2) ή
y= 0,2συν(πx-2π-3π/2)= - 0,2 ημπx
y= 0,2 συν2π(x/2-7/4)·ημ2π(9/4) ή
y= 0,2 συν2π(x/2-7/4)·ημ9π/2 ή
y= 0,2 συν2π(x/2-7/4)=0,2συν(πx-7π/2) ή
y= 0,2συν(πx-2π-3π/2)= - 0,2 ημπx
Συνεπώς το στιγμιότυπο του κύματος είναι αυτό του παρακάτω σχήματος.
στ) Με αντίστοιχο τρόπο μπορούμε να βρούμε ότι τότε στο άκρο Ο θα είχαμε δημιουργία κοιλίας.Για αναλυτικότερη μελέτη, ανοίξτε το παρακάτω αρχείο.
