Απλή Αρμονική Ταλάντωση και Κατακόρυφη Βολή.

1) Στη θέση ισορροπίας ΣF=0 → F_ελ= w → kΔl = mg → Δl =mg/k = 8·10/200 m=0,4m.

Έστω το σώμα σε μια τυχαία θέση που απέχει κατά x από την θέση ισορροπίας:

ΣF= w-F_ελ= mg- k(Δl+x) = mg-kΔl – kx = -kx, άρα το σώμα εκτελεί α.α.τ.

2) Το σώμα θα εγκαταλείψει το ελατήριο, μόλις αυτό αποκτήσει το φυσικό του μήκος, δηλαδή σε απομάκρυνση 0,4m πάνω από την θέση ισορροπίας. Από και πέρα θα εκτελέσει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με επιβράδυνση g. (κατακόρυφη βολή)

Παίρνουμε τον κύκλο αναφοράς της ταλάντωσης. Αρχικά το σώμα βρίσκεται στην θέση Α και θα αφήσει το ελατήριο στο σημείο Β. Αλλά η γωνία φ είναι ίση με 30° αφού η απέναντι κάθετος είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας, συνεπώς το περιστρεφόμενο διάνυσμα διαγράφει γωνία θ=π/2+π/6 = 2π/3. Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του διανύσματος είναι ίση με την γωνιακή συχνότητα, όπου k=mω² → ω²=k/m=200/8=25 → ω= 5rad/s. Έτσι το χρονικό διάστημα που απαιτείται είναι Δt= θ/ω = (2π/3)/5 = 2π/15 s.

3) Τη στιγμή που το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος, η ενέργεια ταλάντωσης είναι:

½ mυ² + ½ kx² = ½ kΑ². (1)

Εφαρμόζουμε για το σώμα την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας, ανάμεσα στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου και στο μέγιστο ύψος (παίρνοντας στην αρχική θέση U=0) και παίρνουμε:

½ mυ² = mgh (2)

Από (1) και (2) παίρνουμε:

mgh= ½ kΑ²- ½ kx² →

h= ( ½ 200·0,8² – ½ 200·0,4²)/80 m = 0,6m