1) Για το σώμα Σ: ΣF=m·α ή mg- Τ = m·α (1)
Για τον κύλινδρο:
Στ=Ι·αγων ή Τ΄R= Ι·αγων, (2)
Όπου αφού το νήμα είναι αβαρές, Τ=Τ΄, ενώ η ταχύτητα του Σ είναι ίση με την ταχύτητα και κάθε σημείου του νήματος, συνεπώς και του σημείου Δ στην περιφέρεια του κυλίνδρου. Έτσι υΣ=υγρ=ω·R και με παραγώγιση:
dυ/dt = dω/dt·R ή α=αγων·R. (3)
Η (2) λόγω της (3) γράφεται Τ΄= (Ι/R2)·α (4)
Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (4) και παίρνουμε:
mg= (m+Ι/R2)·α (5)
Με βάση την σχέση (5) βλέπουμε ότι η επιτάχυνση του σώματος Σ είναι σταθερή, άρα το σώμα Σ εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.
υ= αt και h= ½ αt2 από όπου α= 2h/t2 = 2·8/16 m/s2 = 1m/s2.
Από την (1) Τ= mg-mα= (10-1)Ν =9 Ν και από την (4) παίρνουμε:
Ι=Τ·R2/α= 9· 0,16kg·m2 = 1,44 kg·m2.
2) Όταν στηρίξουμε πάνω στον κύλινδρο τη ράβδο και αφήσουμε το σώμα Σ να πέσει, τα πράγματα είναι παρόμοια, με ΜΙΑ διαφορά. Στον κύλινδρο ασκείται και τριβή ολίσθησης από την δοκό, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Ας ξεκινήσουμε από τη δοκό. Αυτή ισορροπεί:
ΣτΑ= 0 ή Ν· 3l/4-w1.l/2=0
N=2 m1·g/3 = 40N.
Σε χρόνο t=2s το σώμα πέφτει κατά y1 και όπως αποδείξαμε προηγουμένως η κίνηση του σώματος Σ είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη:
y1= ½ α1t2 → α1= 2y1/t2 = 2·1/4 m/s2 = 0,5 m/2. και υ1 = α1t= 0,5·2 m/s= 1m/s.
Οπότε για το σώμα Σ: mg-Τ=mα1 ή Τ= mg-mα1= 9,5Ν.
Παίρνοντας τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για την στροφική κίνηση του κυλίνδρου έχουμε:
Τ΄·R- Τρ·R = Ι·αγων1 (6) όπου αγων1= α1/R= 0,5/0,4 rad/s2 = 1,25 rad/s2, οπότε:
Τρ= Τ΄- Ι·αγων1/R = 9,5Ν-1,44·1,25/0,4Ν= 5Ν.
Για την τριβή Τρ=μΝ → μ= Τρ/Ν= 5/40 = 1/8=0,125.
3) Μόλις τοποθετήσουμε στο άκρο Β το σώμα Σ1, αυτό ισορροπεί άρα δέχεται δύναμη από την δοκό με φορά προς τα πάνω, ίση κατά μέτρο με το βάρος του, οπότε και ασκεί την αντίδρασή της Ν1 στην δοκό, όπως στο σχήμα.
Η δοκός ξανά ισορροπεί:
ΣτΑ= 0 ή Ν· 3l/4-w1.l/2- Ν1·l= 0 (7)
Αλλάζει η Ν, αλλάζει και η τριβή, μεταβάλλεται και η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας και η επιτάχυνση του σώματος Σ.
Για το σώμα Σ:
Δy= υ1Δt + ½ α2·Δt2 → α2= 2(Δy-υ1Δt)/ Δt2 = 2·(7-1·5)/25m/s2= 0,16 m/s2.
Και Τ= mg-mα2= 10Ν-0,16Ν= 9,84Ν
Από την (6) θέτοντας αγων2= α2/R= 0,16/0,4 rad/s2 =0,4 rad/s2, παίρνουμε:
Τρ2= Τ΄- Ι·αγων1/R = 9,84Ν-1,44·0,4/0,4Ν= 8,4Ν
Για την τριβή όμως Τρ2=μΝ → Ν=8,4/0,125Ν =67,2Ν
Πηγαίνοντας στην (7):
Ν1= ¾ Ν – ½ w1= ¾ 67,2Ν- ½ 60= 20,4Ν
