Αφού για t=0 το σώμα δεν περνά από τη θέση ισορροπίας, υπάρχει αρχική φάση φ0 και η εξίσωση της απομάκρυνσης θα είναι:x=Αημ(ωt+φ0) (1)
α) Για t=0 έχουμε 0,05= 0,1ημ(ω0+φ0) → 0,05 = 0,1 ημφ0 → ημφ0= ½
φ0 = 2κπ+ π/6 , για κ=0 φ0 = π/6
ή
φ0 = 2κπ+π- π/6 , για κ=0 φ0 = 5 π/6 .
Για να επιλέξουμε μία από τις παραπάνω τιμές αρχικής φάσης, παίρνουμε την εξίσωση της ταχύτητας υ=Αωσυν(ωt+φ0) που για t=0 δίνει
υ=Αωσυν π/6 >0 δεκτή λύση ή
υ =Αω συν 5 π/6 αρνητική, απορρίπτεται.
Άρα φ0 = π/6 . Οπότε παίρνοντας ξανά την εξίσωση (1) για t=1s έχουμε
1=2ημ(ω+ π/6 ) → ημ(ω+ π/6)= ½ →
ω+ π/6 = 2κπ+ π/6 και για κ=1 → ω= 2π (2) ή
ω+ π/6 = 2κπ+π- π/6 για κ=0 → ω= 2π/3. (3)
Ποια από τις (2) και (3) είναι η σωστή λύση;
Βρίσκοντας την περίοδο, από την (2) έχουμε Τ= 2π/ω = 1s
ενώ από την (3) Τ=3s. Με βάση τα δεδομένα η περίοδος προφανώς είναι μεγαλύτερη από 1s, άρα ω= 2π/3.
Άρα οι ζητούμενες εξισώσεις είναι:
x= 0,1ημ(2π/3 t + π/6) (m) και
υ= 0,1x2π/3 συν(2π/3t+ π/6 ) = π/15 συν(2π/3 t+ π/6) (m/s).
ii) Η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης μας είναι:
φ= 2π/3t + π/6
και η γραφική της παράσταση δίνεται στο διπλανό διάγραμμα.
Τι λέτε, έχει φασαρία; Υπάρχει και άλλη λύση…
β) Να χρησιμοποιήσουμε τον κύκλο αναφοράς. Σύμφωνα και με το παράδειγμα 1,
το σώμα που εκτελεί κυκλική κίνηση για t=0 βρίσκεται στις θέσεις Β ή Γ, όπου η γωνία θ=30°.
Αν βρισκόταν στη θέση Γ θα πλησίαζε προς τον οριζόντιο άξονα, άρα το υλικό σημείο που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση θα εκινείτο προς τη θέση ισορροπίας, πράγμα που δεν ισχύει.
Τι συμβαίνει με τη θέση Β;
Αφού λοιπόν αρχικά βρίσκεται στη θέση Β η αρχική του φάση είναι φ0=θ= π/6 και το σώμα θα ξαναβρίσκεται στο σημείο Μ, όταν το περιστρεφόμενο διάνυσμα φτάσει στη θέση Γ. Θα διαγράψει δηλαδή γωνία ΒΟΓ= 5π/6 – π/6 = 2π/3 και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του διανύσματος είναι ω= θ/t = 2π/3 ………..
