Μηχανικό σύστημα - Ελαστική κρούση.

α) Μετά την κρούση τα σώματα Β και Γ έχουν ταχύτητες (θεωρώντας την προς τα αριστερά κατεύθυνση σαν θετική):

υ_Γ΄= (m_Γ-m_Β)·υ₀/(m_Β+m_Γ) =(1-2)·3/(1+2) m/s =-1m/s

υ_Β΄=2m_Γ·υ₀/( m_Β+m_Γ)=2·3/3=2m/s

β) Εφαρμόζουμε την ΑΔΜΕ για την κίνηση του σώματος Β μέχρι τη θέση που θα σταματήσει στιγμιαία και παίρνουμε:

Κ_αρχ + U_αρχ = Κ_τελ + U_τελ

½ m_Β·υ_Β΄² = ½ Κ·(Δl)² ή

Δl² = m_Β·υ_Β΄²/K= 2·4/128=16 m² άρα

Δl= 0,25m

Η ελάχιστη λοιπόν απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων είναι d_min=0,5m -0,25m=0,25m.

γ) Το σώμα Β θα κάνει α.α.τ. πλάτους 0,4m και περιόδου Τ² =4π² m/Κ = 4·π² ·2/128= π²/16 s² ή Τ=π/4 s. Σε χρόνο Τ/2=π/8 s το σώμα Β θα έχει επιστρέψει στην αρχική του θέση, οπότε το ελατήριο θα αρχίζει να επιμηκύνεται και το σώμα Α θα αποσπαστεί από τον τοίχο.

δ) Για το σώμα Β έχουμε ΣF= F_ελ= -Κ·x = - Κ·Αημωt, όπου ω=2π/Τ=8rad/s. Άρα

F_ελ= -128·0,25·ημ8t= -32 ημ8t (S.Ι.)

Το σώμα Α στο παραπάνω χρονικό διάστημα ισορροπεί. Οι δυνάμεις δέχεται μια δύναμη από το ελατήριο με φορά προς τα αριστερά, αφού το ελατήριο είναι συμπιεσμένο και μια δύναμη F, προς τα αριστερά από τον τοίχο.

Αφού ισορροπεί:

ΣF=0 άρα και F= 32ημ8t με φορά προς τα δεξιά.

ε) Τη στιγμή που το σώμα Β επιστρέφει στην αρχική του θέση έχει ταχύτητα μέτρου 2m/s με φορά προς τα δεξιά. Τη στιγμή αυτή το σώμα Α έχει μηδενική ταχύτητα. Για όσο χρόνο το ελατήριο έχει κάποια επιμήκυνση το σώμα Α επιταχύνεται προς τα δεξιά, ενώ μόλις το ελατήριο αποκτήσει ξανά το φυσικό του μήκος, θα πάψει να επιταχύνεται έχοντας τη στιγμή αυτή την μέγιστη ταχύτητά του.

Ανάμεσα στις δύο καταστάσεις που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος, για το σύστημα των δύο σωμάτων Α και Β θα ισχύουν:

ΑΔΟ: m_Β·υ_Β = m_Β·υ₂ + m_Α·υ_Α (1)

ΑΔΜΕ: Κ_αρχ + U_αρχ = Κ_τελ + U_τελ ή

½ m_Β·υ_Β² = ½ m_Β·υ₂² + ½ m_Α·υ₁² (2)

Από την λύση των εξισώσεων (1) και (2) έχουμε:

υ₂=0 και υ₁= 2m/s. Δηλαδή τα σώματα Α και Β αντάλλαξαν ταχύτητες!!!

Σας θυμίζει τίποτα;; Δείτε καλύτερα το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2)….