Μοντελοποίηση της Πλαστικής και της Ελαστικής κρούσης.

α) Πέφτοντας το Α σώμα στο ελατήριο αρχίζει να το συσπειρώνει, αλλά τότε το ελατήριο ασκεί δύναμη στο Α, με φορά προς τα αριστερά, οπότε το σώμα επιβραδύνεται, ενώ ασκεί δύναμη στο Β σώμα με φορά προς τα δεξιά και το σώμα επιταχύνεται. Για όσο χρόνο η ταχύτητα του Α σώματος είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του Β, η απόσταση μεταξύ των σωμάτων μειώνεται, ενώ η απόσταση θα αυξάνεται αν υ_Β>υ_Α. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η ελάχιστη απόσταση είναι τη στιγμή που οι ταχύτητες των σωμάτων είναι ίσες.

Εφαρμόζουμε λοιπόν για το σύστημα την Αρχή διατήρησης της ορμής μεταξύ της αρχικής καταστάσεως και της ενδιάμεσης με τις ίσες ταχύτητες και έχουμε:

Ρ_αρχ = Ρ_ενδ

m₁·υ₁ = m₁·υ_κ + m₂·υ_κ ή

m₁·υ₁ = (m₁ + m₂)· υ_κ ή

υ_κ=2·10/5m/s=4m/s.

(Μήπως αναγνωρίζετε την πλαστική κρούση;…)

Επειδή η δύναμη του ελατηρίου είναι συντηρητική, η Μηχανική ενέργεια διατηρείται.

Κ_αρχ + U_αρχ = Κ_ενδ +U_ενδ ή

½ m₁·υ₁² = ½ (m₁+m₂)·υ_κ² + ½ ΚΔl² ή

Δl² = [m₁·υ₁² - (m₁+m₂)·υ_κ²]/Κ =(2·100-5·16)/750m² = 120/750 m² = 4/25 m² ή

Δl= 0,4m.

Άρα η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σωμάτων θα είναι x_min=l₀-Δl= 0,1m.

β) Τη στιγμή της μέγιστης συσπείρωσης του ελατηρίου, θα έχουμε την μέγιστη τιμή της δύναμης του ελατηρίου, άρα και τη μέγιστη επιτάχυνση. Δηλαδή:

F_ελ = m·α ή

Κ·Δl = mα ή

α= Κ·Δl/m= 750·0,4/3 m/s² =100m/s².

γ) dΚ/dt = ΣF·υ= m·α·υ= 3·100·4 J/s= 1200 J/s.

δ) Μόλις αποχωριστούν τα δύο σώματα και το ελατήριο αποκτήσει ξανά το φυσικό του μήκος, τα σώματα θα έχουν έχουν ταχύτητες υ₁΄και υ₂΄οι οποίες υπολογίζονται, αφού εφαρμόσουμε για το σύστημα την ΑΔΟ και την ΑΔΜΕ.

Ρ_αρχ = Ρ_τελ ή

M₁·υ₁ = m₁·υ₁ + m₂·υ₂ (1)

Κ_αρχ + U_αρχ = Κ_τελ + U_τελ ή

½ m₁·υ₁² = ½ m₁·υ₁΄² + ½ m₂·υ΄₂² (2)

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2) και παίρνουμε:

(Μήπως αναγνωρίζετε τις εξισώσεις της ελαστικής κρούσης;)

υ΄₁=(m₁-m₂)·υ₁/(m₁+m₂) = - 2m/s και

υ΄₂= 2m₁·υ₁/(m₁+m₂) = 8 m/s.