α) Στην αρχική θέση το σώμα Σ1 ισορροπεί: ΣF=0 ή Κ1·Δl= m1·g (1)
Έστω ότι σε μια τυχαία στιγμή το σώμα έχει απομάκρυνση κατά x από τη Θ.Ι.
ΣF= m1·g-Fελ= m1·g- Κ1·(Δl+x) = m1·g- Κ1·Δl - Κ1· x = - Κ1·x
Άρα το σώμα εκτελεί α.α.τ. με σταθερά D=Κ1.
β) Τη στιγμή που αφήνουμε το σώμα Σ1 να κινηθεί απέχει κατά d=0,2m, ενώ το σώμα δεν έχει ταχύτητα, άρα αυτή η θέση είναι ακραία και Α=0,2m. Για την περίοδο ταλάντωσης έχουμε:
Τ=2π·(m/D)1/2= 2π· (2/200)1/2= 0,2π s.
γ) Για t=0 το σώμα βρίσκεται στην ακραία θετική απομάκρυνση, οπότε παίρνοντας την εξίσωση της απομάκρυνσης έχουμε:
x=Αημ(ωt+φ0) και για t=0:
Α=Α ημφ0 ή φ0 = π/2, ενώ ω=2π/Τ= 10rad/s
Έτσι:
x= 0,2·ημ(10t+ π/2) (2) μονάδες στο S.Ι.
δ) Από την εξίσωση (2) θέτοντας x= - h= - 0,1m έχουμε:
- 0,1 = 0,2 ημ(10t+ π/2)
ημ(10t+π/2) = ημ(7π/6) ή
10t+ π/2 = 2κπ+7π/6 και για κ=0 → t1= π/15 s
ή
10t + π/2= 2κπ+π-7π/6 και για κ=1 → t2=2π/15 s
παίρνοντας την εξίσωση της ταχύτητας για τις δύο παραπάνω περιπτώσεις έχουμε:
υ1=υmαx·συν(7π/6) αρνητική τιμή, άρα αποδεκτή και
υ2=υmαx·συν(11π/6) >0 απορρίπτεται αφού τη στιγμή αυτή το σώμα κινείται προς τα πάνω.
Άρα η κρούση θα γίνει την χρονκή στιγμή t1= π/15s.
ε) Η ταχύτητα του Σ1 πριν την κρούση είναι:
υ1=Α·ωσυν(7π/6) =2·31/2/2 = 31/2 m/s.
Αφού τα σώματα έχουν ίσε μάζες ανταλλάσουν ταχύτητες, οπότε υ1΄=0 και υ2΄= 31/2 m/s
Το σώμα Σ2 μετά την κρούση εκτελεί ταλάντωση ξεκινώντας από τη θέση ισορροπίας του με ταχύτητα υ2=Α2·ω2.
Αλλά Κ2=m2·ω22 ή
ω22 = Κ2/m2 = 150/2= 75 ή ω2=5·31/2rad/s
Οπότε Α2= 31/2 / (5·31/2) = 0,2m,
Κατά συνέπεια το νέο πλάτος ταλάντωσης του Σ1 είναι 0,1m.
