α) Για το σύστημα των δύο σωμάτων:
Στη θέση ισορροπίας:
ΣF=0 → Fελ=(Μ+m)g ή
Κy1= (M+m)g → K=(M+m)g/y1= 4·10/0,4N/m= 100N/m
Για την τυχαία θέση του σχήματος που απέχει κατά y από την θέση ισορροπίας:
ΣF= Fελ-W=Κ(y1-y) – (M+m)g= Κy1-Ky – (M+m)g= - Ky
Η τελευταία εξίσωση απoδεικνύει ότι το σύστημα εκτελεί α.α.τ. με σταθερά επαναφοράς D=Κ.
D=mολ ω2 ή ω2=Κ/mολ =100/4 ή ω=5rad/s.
Αλλά και κάθε σώμα χωριστά εκτελεί την ίδια ταλάντωση, επομένως:
DΑ=Μω2 = 3·25Ν/m= 75Ν/m και
DΒ=mω2 = 1·25Ν/m = 25Ν/m.
β) Παίρνουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα Β στην τυχαία θέση. Όπως φαίνονται στο διπλανό σχήμα στο σώμα Β ασκούνται το βάρος του W1 και η κάθετη αντίδραση Ν1 από το σώμα Α. Αφού το σώμα εκτελεί α.α.τ. θα έχουμε:
Ν1- mg= -DΒ·y ή
Ν1 = mg- DΒ·y (1)
Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι όσο μεγαλώνει η απομάκρυνση y από τη θέση ισορροπίας, τόσο μοκραίνει η δύναμη επαφής Ν1. Όταν Ν1= 0 τα σώματα χάνουν την επαφή.
mg=DB· y2 →
y2=10/25m =0,4m
Δηλαδή το σώμα θα χάσει την επαφή, σε απόσταση 0,4m πάνω από την θέση ισορροπίας του.
Η ενέργεια ταλάντωσης παραμένει σταθερή:
Ε=Κ+U ή
½ Κ·Α2 = ½ Κ·y22 + ½ (M+m)υ2 ή
υ2=(Κ/(Μ+m))(Α2-y22) ή
υ2 = 100/4·(0,82-0,42) = 12 m2/s2 ή
υ=2·31/2 m/s
